EN MUTLU SAYI

Karşıma ilgimi çeken yepyeni bir bilgi çıktığında küçücük bir çocuk merakıyla araştırmayı ve öğrendiklerimi elimden geldiğince sadeleştirerek paylaşmayı seviyorum; artık biliyorsunuz.

İşte mutlu, mutsuz hatta narsist sayılarla ilgili bilgilerle karşılaştığımda da aynı meraklı hislerle tuşlara bastım.

Ve şimdi mutlu sayılarla karşınızdayız.

Rakamlardan oluşan sayılar matematikte farklı kümeler içinde sınıflandırılıyor.

Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar, reel sayılar, karmaşık sayılar gibi. Okul yıllarından aşinayız zaten.

Gelin görün ki tıpkı bizler gibi sayıların da mutlusu, mutsuzu hatta narsist olanı var.

Sizce de ilginç değil mi?

Peki matematikteki sayı yığını arasından mutlu, mutsuz ya da narsist sayılar nasıl bulunur?

Gelin beraber matematikteki sayılarla dansa başlayalım. Çünkü denilene göre mutlu sayıları bulmak hayli kolay.

Mutlu sayı kavramını ilk kimin ortaya attığı ve geliştirdiği tam olarak bilinmese de; 1960 yılında İngiliz matematikçi Reginald Allenby tarafından popüler hale getirildiği kabul ediliyor.

Tüm doğal sayılar ya mutlu ya da mutsuzsa olduğuna göre en iyisi örnekleme yapmak.

Uğursuz olarak da bilinen 13 sayısını alalım isterim. Önce 1 rakamının karesini alalım, sonra da 3 rakamının. Elde ettiğimiz sonucu 1 ve 9’u toplayalım. 10 çıkıyor. Aynısını bu sefer 10 sayısına yapalım. 1 rakamının karesi ve 0 rakamının karesini alıp toplayalım. 1 artı 0 bize toplamda 1 rakamını veriyor.

Yani?

Tekrarların sonunda elde edilen toplam 1 ise tuttuğumuz sayı mutlu bir sayı olarak kabul ediliyor. Demek ki uğursuz olarak bilinen 13 sayısı aslında mutlu bir sayı.

Gelin bir başka örnek daha yapalım. 4 rakamını ele alalım. 4’ün karesi 16 ediyor. Aynı işlemle hem 1’in hem de 6’nın karelerini alıp toplayalım. 37 ediyor. Aynı işlemi bu sefer bu sayıya uygulayalım.

Sonunda ne kadar yaparsak yapalım döngünün hiç değişmediğini fark ediyoruz.  4 – 16 – 37 – 58 – 89 – 145 – 42 – 20 – 4 gibi. Yani 1 rakamına ulaşmamız mümkün değil.

O halde 4 rakamı mutsuz bir sayı olarak karşımızda.

İşin özü; eldeki sayıya uygulanan işlem sonucunda 1 rakamına ulaşılıyorsa o sayı mutlu; ulaşılamıyor ve kısır bir döngüde kalıyorsa o sayı da mutsuz oluyor.

Son örnek olarak 91 sayısını alalım. İlk adımda 82 elde edilir. İkinci adımda 68. Ve son olarak 100 elde edilir ki, bunun işlem sonucu da 1 çıkar. O halde 91 mutlu bir sayı.

Matematikçilerin bunun için geliştirdiği bir formül yok. Ancak sayılar büyüdükçe işlem süresi zorlaştığı için bazı algoritmalar devreye giriyor. Bu sayede 3 ve 4 basamaklı sayılar kolayca mutlu-mutsuz olarak irdelenebiliyor.

Bir başka araştırma; sayıların yüzde kaçının mutlu olduğuyla ilgili. Yaptıkları çalışmalarla mutlu sayıların tüm doğal sayılara oranı alınıyor.

Sonuçta; ilk 10 doğal sayı arasında üç adet mutlu sayı; ilk 100 içerisinde yirmi adet mutlu sayı ve ilk 1000 doğal sayı arasında yüz kırk üç adet mutlu sayı olduğu ortaya çıkıyor. Bir başka deyişle sayılar büyüdükçe yoğunluk yüzde 14 civarında kalıyor.

Bu tezi kabul etmeyen Amerikalı matematikçi Justin Gilmer ise 2011 yılında yaptığı açıklamada; mutlu sayıların bir yoğunluğu olmadığını, yoğunluklarının incelenen aralığa bağlı olduğunu ve sabit bir sınıra yaklaşmadığını açıklar.

Bir insan matematiğe yoğunlaşmışsa merakı ve kafasındaki soruları hiç bitmez. İşte bunun en güzel örneği de matematikçilerin bu sefer de ardışık kaç tane mutlu sayı olduğunu araştırmaya başlaması olarak gösterilebilir.

Karşımıza çıkan ilk iki mutlu ardışık sayı 31 ve 32.

Peki ya ilk üç mutlu ardışık sayı hangisi derseniz; dört basamaklı değerlerden 1.880, 1.881, 1.882 bizi karşılar.

Bu örnek ve detaylar o kadar çok ki. Ama gelin biz şimdi de mutlu bir sayıyı 1’e getirmek için mutlu hesaplamanın kaç kez gerekli olduğuna bakalım.

Eğer bu miktarı ele alınan sayının genel mutluluğunu tanımlamak için kullanacaksak; sonucunda ne kadar az tekrar olup olmadığına bakmak gerekiyor. En mutlu sayı en az tekrarla 1’ e ulaşan sayı olduğuna gör; 1, 10, 100 sayıları son derece mutluyken, 13 biraz daha az mutlu kabul ediliyor.

Bu kadar mutlu sayı arasında en az mutlu olan sayı hangisi derseniz; tek basamaklılar arasında 7 örneği var.

7’den 1’e gitmek için beş yineleme gerekirken; üç basamaklı 356 sayısı içinse altı yineleme gerekiyor.

Sonrasında ise işler biraz çetrefilleşiyor; kısacası buradan da sayının mutsuzluğunun derecesinin bir sınırı olmadığı ortaya çıkıyor.

Son bir not olarak narsistik sayıları merak edenler için; gelsin.

Herhangi bir doğal sayının her bir basamağında bulunan rakamı, sayının basamak sayısı kadar kuvveti alınarak topladığımızda; sayının kendisi elde ediliyorsa bu doğal sayı narsistik bir sayı oluyor. Adı üstünde aslında bu sayılar kendinden başkasını istemiyor.

Örnek için 153 sayısını alalım. 3 haneli olduğu için her bir rakamın kuvveti alınırsa (1^3 + 5^3 + 3^3 ) sonuç yine kendisi çıkıyor.

Tek haneli sayıların tümü narsist sayılırken; toplamda yalnızca 89 narsisistik sayı olduğunu ve ‘armstrong sayıları’ olarak da bilindiğini son bir not olarak eklemek isterim.

Bilemiyorum rakamlar, hesaplar belki benim kadar ilginizi çekmiyor olabilir; ama unutmayalım ki hayat bir matematik ve sayılar her yanımızda.

Sevgiyle kalın.

Belgin ERYAVUZ

07.11.2024

Kaynaklar: https://www.matematiksel.org/; https://en.wikipedia.org; https://bilimgenc.tubitak.gov.tr.